Ecuaciones lineales y cuadráticas

Qué es una ecuación

Una ecuación dice que dos expresiones valen lo mismo. Tiene un signo de igual. Resolverla es encontrar el valor de la variable que hace cierta esa igualdad.

En:

El lado izquierdo y el derecho son iguales solo si $x = 3$:

No es lo mismo una expresión que una ecuación:

Ecuaciones lineales

Una ecuación lineal tiene la variable a la primera potencia. Su forma general es:

con $a \neq 0$. El objetivo es dejar la variable sola: se hace la misma operación a los dos lados.

Por ejemplo, en $3x - 4 = 8$:

Se comprueba sustituyendo:

Si hay un paréntesis, primero se distribuye:

Variable a ambos lados

Si la variable aparece a los dos lados, se agrupa a un lado y las constantes al otro:

Por ejemplo, en $2x + 3 = x + 7$:

Si hay fracciones, se multiplica toda la ecuación por el común:

Una ecuación lineal tiene una solución, ninguna, o infinitas. Si $a \neq 0$, siempre hay exactamente una.

Qué es una ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática tiene la variable al cuadrado. Su forma general es:

con $a \neq 0$. Puede tener hasta dos soluciones.

En $x^2 - 5x + 6 = 0$, $a = 1$, $b = -5$ y $c = 6$.

Comparación con la lineal:

Resolver por factorización

Si un producto es cero, alguno de los factores es cero. Esa es la regla del producto nulo:

Entonces $x = p$ o $x = q$.

Por eso se factoriza primero. En $x^2 + 5x + 6 = 0$:

Entonces $x + 2 = 0$ o $x + 3 = 0$:

Se comprueba:

Con diferencia de cuadrados:

Si el trinomio es un cuadrado perfecto, hay una sola solución (doble):

Fórmula cuadrática

Si no se factoriza a simple vista, se usa la fórmula. Para $ax^2 + bx + c = 0$:

El número dentro de la raíz se llama discriminante:

El discriminante dice cuántas soluciones reales hay:

Por ejemplo, en $x^2 - 5x + 6 = 0$, $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$:

La lineal se resuelve aislando la variable. La cuadrática se resuelve factorizando o con la fórmula. El discriminante adelanta cuántas raíces reales van a aparecer.