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Qué es una inecuación

Una inecuación compara dos expresiones. No pide un valor exacto: pide todos los números que cumplen la comparación.

En:

x > 3

x no es un solo número. Cualquier valor mayor que $3$ sirve: $4$ , $10$ , $3.1$ .

Los cuatro símbolos:

Símbolo	Significado
$<$	menor que
$>$	mayor que
$\leq$	menor o igual
$\geq$	mayor o igual

Si $x = 5$ , entonces $x > 3$ se cumple:

5 > 3

x = 3

es una ecuación:

un solo valor. La inecuación es un conjunto.

Reglas básicas de inecuaciones

Se operan casi como una ecuación. La diferencia está al multiplicar o dividir por un número negativo.

Suma y resta

Sumar o restar el mismo número no cambia el sentido:

a < b \quad \Rightarrow \quad a + c < b + c

Por ejemplo:

x - 4 < 7

x < 11

Producto por un número positivo

Si el número es positivo, el sentido se mantiene:

a < b \quad \Rightarrow \quad ka < kb \quad (k > 0)

Por ejemplo:

\dfrac{x}{2} > 5

x > 10

Producto por un número negativo

Si el número es negativo, el sentido se invierte:

a < b \quad \Rightarrow \quad ka > kb \quad (k < 0)

Por ejemplo:

-2x > 6

x < -3

-2x > 6

al dividir por

-2

, el

>

pasa a

<

.

Inecuaciones lineales

Se despeja x con las mismas operaciones que en una ecuación lineal, cuidando el signo al multiplicar o dividir.

ax + b < c

Por ejemplo:

2x + 3 < 11

2x < 8

x < 4

Si hay variable a ambos lados, se junta primero:

3x - 4 > x + 2

2x > 6

x > 3

Con coeficiente negativo

Se despeja igual, y al final se invierte el sentido:

-3x + 1 \geq 7

-3x \geq 6

x \leq -2

Se comprueba con un valor. Si $x = -3$ , que es menor o igual que $-2$ :

-3(-3) + 1 = 9 + 1 = 10 \geq 7

Intervalos y representación

La solución de una inecuación se escribe como un intervalo. El corchete incluye el extremo; el paréntesis lo deja fuera.

Inecuación	Intervalo
$x > a$	$(a, \infty)$
$x \geq a$	$[a, \infty)$
$x < a$	$(-\infty, a)$
$x \leq a$	$(-\infty, a]$
$a < x < b$	$(a, b)$
$a \leq x \leq b$	$[a, b]$

En la recta numérica, un extremo abierto es un círculo hueco y un extremo cerrado es un círculo lleno. Se sombrea hacia el lado de la solución.

x < 4

se escribe

x \in (-\infty, 4)

Inecuaciones compuestas

A veces x queda entre dos valores. Se opera en los tres lados a la vez:

a < x < b

Por ejemplo:

-1 \leq 2x + 1 < 5

-2 \leq 2x < 4

-1 \leq x < 2

En intervalo: $[-1, 2)$ . El $-1$ entra; el $2$ no.

Inecuaciones cuadráticas

Se pasa todo a un lado, se factoriza, y se estudia el signo en cada intervalo.

ax^2 + bx + c > 0

Por ejemplo, $x^2 - 5x + 6 > 0$ . Primero se factoriza:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Los ceros son $x = 2$ y $x = 3$ . Esos puntos parten la recta en tres intervalos:

Intervalo	Prueba	Signo
$(-\infty, 2)$	$x = 0$	$(-)(-)=+$
$(2, 3)$	$x = 2.5$	$(+)(-)=-$
$(3, \infty)$	$x = 4$	$(+)(+)=+$

Se busca donde el producto es positivo, así que la solución es:

x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)

Producto menor o igual que cero

Si el producto debe ser negativo o cero, se toma el intervalo entre las raíces, incluyendo los ceros:

(x + 1)(x - 4) \leq 0

x \in [-1, 4]

Si la desigualdad es estricta (

<

o

>

), los ceros no entran.

El orden habitual es: pasar todo a un lado, factorizar, marcar los ceros, y leer el signo en cada intervalo.