codemente

Exponentes y radicales

Qué es un exponente

Un exponente indica cuántas veces se multiplica un número por sí mismo.

En:

ana^n

a es la base y n es el exponente. Se lee “a elevado a n”.

Por ejemplo, 232^3 significa multiplicar 2 tres veces:

23=2×2×2=82^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8

Algunos valores de la misma potencia:

nn2n2^n
121=22^1 = 2
222=2×2=42^2 = 2 \times 2 = 4
323=2×2×2=82^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8

Reglas básicas de exponentes

Suma de exponentes

Al multiplicar potencias con la misma base, se suman los exponentes:

am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

Por ejemplo:

23⋅22=23+2=25=322^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32

Resta de exponentes

Al dividir potencias con la misma base, los exponentes se restan:

aman=am−n\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Por ejemplo:

2522=25−2=23=8\dfrac{2^5}{2^2} = 2^{5-2} = 2^3 = 8

Exponente cero

Un exponente cero siempre da uno (si la base no es cero):

a0=1a^0 = 1

Por ejemplo:

20=12^0 = 1
2500=1250^0 = 1

Exponente negativo

Un exponente negativo invierte la base:

a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

Por ejemplo:

2−3=123=182^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}

Qué es un radical

Un radical es la operación inversa de una potencia.

Pregunta: “¿qué número, elevado a nn, da aa?”

an\sqrt[n]{a}

Veamos algunos ejemplos:

83=2\sqrt[3]{8} = 2
ya que
23=82^3 = 8
164=2\sqrt[4]{16} = 2
ya que
24=162^4 = 16

Reglas básicas de radicales

Producto de radicales

Al multiplicar radicales con el mismo índice, se multiplican los radicandos:

an⋅bn=abn\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

Por ejemplo:

4⋅9=4⋅9=36=6\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6

Cociente de radicales

Al dividir radicales con el mismo índice, se dividen los radicandos:

anbn=abn\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}

Por ejemplo:

364=364=9=3\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\dfrac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3

Potencia de un radical

Una potencia de un radical es la raíz de esa misma potencia:

(an)m=amn\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}

Por ejemplo:

(83)2=823=643=4\left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4

Raíz de una raíz

Una raíz de una raíz se junta en una sola, multiplicando los índices:

anm=amn\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}

Por ejemplo:

16=162⋅2=164=2\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[2 \cdot 2]{16} = \sqrt[4]{16} = 2

Relación entre exponentes y radicales

Toda raíz se puede escribir como un exponente fraccionario. Esa es la conexión:

an=a1/n\sqrt[n]{a} = a^{1/n}

Así, la raíz cuadrada es elevar a un medio:

9=91/2=3\sqrt{9} = 9^{1/2} = 3
El radical y el exponente fraccionario dicen lo mismo.

En general:

amn=am/n\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}

Por ejemplo, 83=81/3=2\sqrt[3]{8} = 8^{1/3} = 2, porque 23=82^3 = 8.