Codemente

Qué es factorizar

Factorizar es escribir una expresión como un producto de expresiones más simples. Es la operación inversa de expandir.

En:

x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

El lado izquierdo está expandido y el lado derecho está factorizado. Ambos valen lo mismo para cualquier x.

Si $x = 2$ , las dos formas dan el mismo número:

2^2 + 5(2) + 6 = 4 + 10 + 6 = 20

(2 + 2)(2 + 3) = 4 \cdot 5 = 20

La misma expresión, de dos maneras:

Expandida	Factorizada
$x^2 + 5x + 6$	$(x + 2)(x + 3)$
$x^2 - 9$	$(x + 3)(x - 3)$
$6x + 9$	$3(2x + 3)$

Factor común

El primer paso es sacar el factor que aparece en todos los términos. Ese factor se llama factor común.

ax + ay = a(x + y)

Por ejemplo:

6x + 9 = 3(2x + 3)

Se saca el $3$ porque divide a $6x$ y a $9$ .

Factor común con variable

Si la variable aparece en todos los términos, también se saca:

ax^n + bx^n = x^n(a + b)

Por ejemplo:

4x^2 + 8x = 4x(x + 2)

4x^2 + 8x + 3

no se saca

x

no está en el

3

.

Siempre se busca el factor común primero. Luego se aplica el resto de las técnicas.

Diferencia de cuadrados

Un cuadrado menos otro cuadrado se factoriza en suma por diferencia:

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Por ejemplo:

x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)

También funciona si hay coeficientes:

4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x + 5)(2x - 5)

x^2 + 9

no, porque

es una suma de cuadrados, no una diferencia.

Trinomios de la forma x² + bx + c

Se buscan dos números que sumen b y multipliquen c:

x^2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)

Por ejemplo, en $x^2 + 7x + 12$ :

Números	Producto	Suma
1 y 12	12	13
2 y 6	12	8
3 y 4	12	7

Sirven 3 y 4, porque $3 + 4 = 7$ y $3 \cdot 4 = 12$ :

x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

Con signos

Si c es positivo, los dos números tienen el mismo signo:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Si c es negativo, los dos números tienen signo distinto:

x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)

Trinomio cuadrado perfecto

Si el término del medio es el doble producto, el trinomio es un cuadrado:

x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2

Por ejemplo:

x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2

Agrupación y trinomios ax² + bx + c

Factorización por agrupación

Con cuatro términos, se agrupan de dos en dos y se saca el factor común de cada pareja:

ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)

Por ejemplo:

x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = x^2(x + 2) + 3(x + 2) = (x^2 + 3)(x + 2)

Trinomios de la forma ax² + bx + c

Si el coeficiente de $x^2$ no es $1$ , se buscan dos números que multipliquen $a \cdot c$ y sumen b. Luego se agrupa.

ax^2 + (p + q)x + c \quad (pq = ac)

Por ejemplo, en $2x^2 + 7x + 3$ , se busca un producto $2 \cdot 3 = 6$ y una suma $7$ . Sirven 6 y 1:

2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + 6x + x + 3

= 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3)

Se comprueba expandiendo:

(2x + 1)(x + 3) = 2x^2 + 7x + 3

Factorizar y expandir son operaciones inversas.

Factorizar sirve para simplificar fracciones algebraicas y para resolver ecuaciones. El orden habitual es: factor común, diferencia de cuadrados, trinomio, y agrupación.