codemente

Fracciones y expresiones algebraicas

Qué es una fracción?

Una fracción representa una parte de un todo:

14\dfrac{1}{4}

Se representa de la forma:

ab=numeradordenominador\dfrac{a}{b} = \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}}

Donde a es el numerador y b es el denominador.
Nota: El denominador nunca puede ser cero.

Por ejemplo:

34\dfrac{3}{4}   significa “tres de cuatro partes iguales”:

Reglas básicas de fracciones

Multiplicación de fracciones

Al multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

ab×cd=a×cb×d\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}

Por ejemplo:

23×45=2×43×5=815\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 5} = \dfrac{8}{15}

División de fracciones

Dividir por una fracción es multiplicar por su inversa:

ab÷cd=ab×dc=a×db×c\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \times d}{b \times c}

Por ejemplo:

23÷45=23×54=2×53×4=1012=56\dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{2 \times 5}{3 \times 4} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}

Suma de fracciones

Cuando el denominador es el mismo, se copia el denominador y se suman solo los numeradores:

ac+bc=a+bc\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}

Por ejemplo:

15+25=1+25=35\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{1 + 2}{5} = \dfrac{3}{5}

Cuando el denominador es diferente, se siguen los siguientes pasos:

  1. Multiplica a por d y suma la multiplicación de b por c
  2. Divide todo por la multiplicación de b por d
ab+cd=(a×d)+(b×c)b×d\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{(a \times d) + (b \times c)}{b \times d}

Por ejemplo:

12+23=(1×3)+(2×2)2×3=56\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{(1 \times 3) + (2 \times 2)}{2 \times 3} = \dfrac{5}{6}

Resta de fracciones

Cuando el denominador es el mismo, se copia el denominador y se restan solo los numeradores:

ac−bc=a−bc\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a - b}{c}

Por ejemplo:

45−15=4−15=35\dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4 - 1}{5} = \dfrac{3}{5}

Cuando el denominador es diferente, se siguen los siguientes pasos:

  1. Multiplica a por d y resta la multiplicación de b por c
  2. Divide todo por la multiplicación de b por d
ab−cd=(a×d)−(b×c)b×d\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{(a \times d) - (b \times c)}{b \times d}

Por ejemplo:

23−12=(2×2)−(3×1)3×2=16\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{(2 \times 2) - (3 \times 1)}{3 \times 2} = \dfrac{1}{6}

Simplificar una fracción

Se cancelan los factores comunes del numerador y del denominador:

a×kb×k=a×kb×k=ab\dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \times \cancel{k}}{b \times \cancel{k}} = \dfrac{a}{b}

Por ejemplo:

1218=2×63×6=2×63×6=23\dfrac{12}{18} = \dfrac{2 \times 6}{3 \times 6} = \dfrac{2 \times \cancel{6}}{3 \times \cancel{6}} = \dfrac{2}{3}

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es una fracción cuyos términos son expresiones. Se opera con las mismas reglas que una fracción numérica.

x+1x−2\dfrac{x + 1}{x - 2}

El denominador no puede ser cero. En este caso x no puede valer 2.

Simplificar

Se factorizan numerador y denominador, y se cancelan los factores comunes:

a⋅cb⋅c=a⋅cb⋅c=ab\dfrac{a \cdot c}{b \cdot c} = \dfrac{a \cdot \cancel{c}}{b \cdot \cancel{c}} = \dfrac{a}{b}

Por ejemplo:

2x4x=12\dfrac{2x}{4x} = \dfrac{1}{2}
Se cancela 2x2x, si xx no es cero.

Otro ejemplo, factorizando primero:

x2−9x−3=x2−32x−3=(x+3)(x−3)x−3=(x+3)(x−3)x−3=x+3\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = \dfrac{x^2 - 3^2}{x - 3} = \dfrac{(x + 3)(x - 3)}{x - 3} = \dfrac{(x + 3)\cancel{(x - 3)}}{\cancel{x - 3}} = x + 3

Producto de fracciones

Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

2x⋅x+14=2(x+1)4x=x+12x\dfrac{2}{x} \cdot \dfrac{x + 1}{4} = \dfrac{2(x + 1)}{4x} = \dfrac{x + 1}{2x}

División de fracciones

Se invierte la segunda fracción y se multiplica:

x3÷2x=x3⋅x2=x26\dfrac{x}{3} \div \dfrac{2}{x} = \dfrac{x}{3} \cdot \dfrac{x}{2} = \dfrac{x^2}{6}

Suma de fracciones algebraicas

Se usa un denominador común, igual que con fracciones numéricas:

ab+cd=ad+bcbd\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}

Por ejemplo:

1x+2x+1=(x+1)+2xx(x+1)=3x+1x(x+1)\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{(x + 1) + 2x}{x(x + 1)} = \dfrac{3x + 1}{x(x + 1)}

La fracción numérica y la algebraica siguen las mismas reglas. La diferencia es que ahora el numerador y el denominador pueden contener variables.