Codemente

Qué es componer

Componer es encadenar dos funciones: la salida de una se convierte en la entrada de la otra.

En:

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Primero se aplica g a x. Después se aplica f a ese resultado. Se lee de adentro hacia afuera.

Con $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = x^2$ , si la entrada es $3$ :

g(3) = 3^2 = 9

f(g(3)) = f(9) = 2(9) + 1 = 19

El mismo proceso, por partes:

Paso	Qué se hace	Resultado
1	evaluar la interior, $g(3)$	$9$
2	meter ese valor en la exterior, $f(9)$	$19$

f(g(x))

no es un producto, porque

no significa

f \cdot g \cdot x

.

La notación de composición

El círculo $\circ$ nombra la composición. $f \circ g$ se lee “f compuesta con g”.

Escritura	Qué pide
$(f \circ g)(x)$	primero `g`, después `f`
$(g \circ f)(x)$	primero `f`, después `g`
$f(g(x))$	lo mismo que $(f \circ g)(x)$

Las dos notaciones dicen lo mismo. La de paréntesis anidados muestra el orden con más claridad:

(f \circ g)(x) = f(g(x))

El círculo no es una multiplicación. Tampoco es el mismo orden que una lectura de izquierda a derecha: se aplica primero la función de la derecha.

f \circ g

se aplica

g primero. La de la derecha actúa antes.

Evaluar una composición

Para un número, se calcula la función interior y se sustituye ese valor en la exterior. No hace falta la fórmula combinada.

Con las mismas $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = x^2$ :

(f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(4) = 9

(f \circ g)(-1) = f(g(-1)) = f(1) = 3

(f \circ g)(0) = f(g(0)) = f(0) = 1

Algunos valores, lado a lado:

$x$	$g(x)$	$f(g(x))$
$-1$	$1$	$3$
$0$	$0$	$1$
$2$	$4$	$9$
$3$	$9$	$19$

También se puede partir de una tabla, sin fórmula. Si $g(2) = 5$ y $f(5) = 8$ , entonces:

(f \circ g)(2) = f(5) = 8

f(g(2))

pide

f

en el valor

g(2)

, no en el

2

.

La fórmula de f(g(x))

Para obtener una sola regla, se sustituye la expresión de g en cada lugar donde f tenga su variable.

Con $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = x^2$ :

(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 1

En $f(x^2)$ se reemplaza cada x de f por $x^2$ , con paréntesis si hace falta.

Otro ejemplo. Si $h(x) = \sqrt{x}$ y $k(x) = x + 4$ :

(h \circ k)(x) = h(k(x)) = h(x + 4) = \sqrt{x + 4}

Se comprueba con un número. Si $x = 5$ :

k(5) = 9 \qquad h(9) = 3

\sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3

Las dos rutas dan el mismo valor. La fórmula resume todos los pasos.

f(g(x))

no es lo mismo que

f(x) \cdot g(x)

Lo primero encadena. Lo segundo multiplica las salidas. Con $f$ y $g$ , $f(g(x)) = 2x^2 + 1$ y $f(x)g(x) = (2x + 1)x^2$ .

El orden importa

Cambiar el orden cambia la función. En general, $f \circ g$ no es igual a $g \circ f$ .

Con las mismas $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = x^2$ :

(f \circ g)(x) = f(x^2) = 2x^2 + 1

(g \circ f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1

Si $x = 2$ , las salidas ya no coinciden:

Composición	Cálculo	Valor
$(f \circ g)(2)$	$f(4) = 9$	$9$
$(g \circ f)(2)$	$g(5) = 25$	$25$

(f \circ g)(x)

no es lo mismo que

(g \circ f)(x)

Ponerse el calcetín y después el zapato no es lo mismo que al revés. El orden de las funciones también queda fijado.

Descomponer una función

A veces se pide escribir una función como composición. Se elige una interior y una exterior cuya cadena reproduzca la regla.

En $p(x) = \sqrt{x + 4}$ , una forma es:

h(x) = \sqrt{x} \qquad k(x) = x + 4

p(x) = (h \circ k)(x)

La interior es lo que está más adentro. La exterior es lo último que se aplica.

Dominio de una composición

Para que $f(g(x))$ exista, x tiene que estar en el dominio de g, y $g(x)$ tiene que estar en el dominio de f.

x \in D(g) \quad \text{y} \quad g(x) \in D(f)

Con $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x - 4$ :

(f \circ g)(x) = \sqrt{x - 4}

g acepta cualquier real, pero la raíz exige $g(x) \geq 0$ :

x - 4 \geq 0

x \geq 4

D = [4, \infty)

Si $x = 3$ , entonces $g(3) = -1$ , y $f(-1)$ no está definido.

(f \circ g)(3)

no se evalúa, porque

g(3)

no entra en el dominio de f.

Otro caso habitual es una fracción. Con $f(x) = \frac{1}{x}$ y $g(x) = x - 1$ :

(f \circ g)(x) = \dfrac{1}{x - 1}

D = (-\infty, 1) \cup (1, \infty)

El $1$ queda fuera porque $g(1) = 0$ , y no se divide entre cero.

Primero se forma

f(g(x))

. Después se imponen las restricciones: las de g y las de f aplicadas a

g(x)

.

Componer encadena una salida con una entrada. El orden importa. La siguiente lección deshace esa cadena: la función inversa.