Codemente

Qué son el dominio y el rango

El dominio es el conjunto de entradas permitidas. El rango es el conjunto de salidas que la función realmente produce.

En:

f(x) = 2x + 1

Cualquier número sirve de entrada, y cualquier número puede ser salida. El dominio y el rango son todos los reales.

Nombre	Qué pregunta	En
dominio	¿qué `x` se pueden meter?	$x$
rango	¿qué $f(x)$ salen?	$y$

Si $x = 3$ , la salida es $f(3) = 7$ . El $3$ está en el dominio; el $7$ está en el rango.

Cómo se escriben

Se usan intervalos, igual que en las inecuaciones. El corchete incluye el extremo; el paréntesis lo deja fuera.

D = [a, b] \qquad R = (c, d)

Todos los reales se escriben $\mathbb{R}$ o $(-\infty, \infty)$ .

Conjunto	Intervalo
todos los reales	$(-\infty, \infty)$
mayores o iguales que $0$	$[0, \infty)$
todos menos $2$	$(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

El símbolo $\in$ dice “pertenece”. Por ejemplo, $3 \in [0, \infty)$ es cierto; $-1 \in [0, \infty)$ no.

Restricciones del dominio

Una entrada está prohibida si la regla no tiene sentido con ella. En este nivel hay dos casos habituales.

El denominador no puede ser cero

En $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$ , el denominador es cero cuando $x = 3$ . Ese valor no entra:

D = (-\infty, 3) \cup (3, \infty)

f(3) = \dfrac{1}{0}

no está definido, porque

no se divide entre cero.

La raíz par no puede ser negativa

En $f(x) = \sqrt{x}$ , lo de adentro no puede ser negativo:

x \geq 0

D = [0, \infty)

Si hay un desplazamiento, se resuelve la inecuación. En $f(x) = \sqrt{x - 1}$ :

x - 1 \geq 0

x \geq 1

D = [1, \infty)

Un polinomio como $f(x) = x^2 + 1$ no tiene esas restricciones: el dominio es $\mathbb{R}$ .

El rango

El rango pregunta qué salidas aparecen, no cuáles se desearían. Se mira qué valores puede tomar $f(x)$ .

En $f(x) = x^2$ , un cuadrado nunca es negativo:

R = [0, \infty)

El dominio sigue siendo $\mathbb{R}$ . El rango se estrecha porque las salidas no cubren los negativos.

Función	Dominio	Rango
$f(x) = 2x + 1$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
$f(x) = x^2$	$\mathbb{R}$	$[0, \infty)$
$f(x) = \sqrt{x}$	$[0, \infty)$	$[0, \infty)$

f(x) = x^2 + 1

el rango es

[1, \infty)

, porque el mínimo es

1

.

Dominio y rango juntos

Primero se busca el dominio (entradas válidas). Luego se mira qué salidas produce esa regla.

Con $f(x) = \sqrt{x - 1}$ :

D = [1, \infty)

R = [0, \infty)

La raíz empieza en $x = 1$ , y su valor más pequeño es $0$ . No hay salidas negativas.

Con $f(x) = \dfrac{1}{x + 2}$ :

D = (-\infty, -2) \cup (-2, \infty)

R = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)

El $-2$ no entra en el dominio. El $0$ no entra en el rango: una fracción con numerador $1$ nunca vale cero.

El dominio se lee en las entradas. El rango se lee en las salidas. Una función puede aceptar casi todo x y aun así no producir todos los y.

El orden habitual es: localizar lo prohibido (cero en el denominador, raíz negativa), escribir el dominio, y después preguntar qué valores puede tomar $f(x)$ .