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Evaluar funciones

Qué significa evaluar

Evaluar una función es sustituir la entrada y calcular la salida. f(a)f(a) es el valor de f cuando la entrada es aa.

En:

f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x

Si la entrada es 44, la salida es:

f(4)=42−2(4)=16−8=8f(4) = 4^2 - 2(4) = 16 - 8 = 8

El par (4, 8)(4,\ 8) es un punto de la gráfica: (x, f(x))(x,\ f(x)).

PreguntaQué pide
f(4)f(4)la salida cuando la entrada es 4
f(x)=8f(x) = 8la entrada que produce 8

Solo se evalúa en valores del dominio. Si la entrada está prohibida, f(a)f(a) no está definido.

Evaluar en un número

Se reemplaza cada x por el número, con paréntesis. Eso importa sobre todo con los negativos.

Con la misma f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x:

f(−1)=(−1)2−2(−1)=1+2=3f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3
f(0)=02−2(0)=0f(0) = 0^2 - 2(0) = 0
f(12)=(12)2−2(12)=14−1=−34f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - 2\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4} - 1 = -\dfrac{3}{4}

Algunos valores de la misma función:

xxf(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x
−1-133
0000
11−1-1
2200
4488
f(−1)f(-1)
no es lo mismo que
−f(1)-f(1)

Lo primero cambia la entrada. Lo segundo cambia el signo de la salida. Aquí f(−1)=3f(-1) = 3 y f(1)=−1f(1) = -1, así que −f(1)=1-f(1) = 1.

Desde una tabla y desde un gráfico

A veces la regla no viene escrita. Se lee la salida en una tabla o en un gráfico.

En esta tabla, cada fila es un punto (x, f(x))(x,\ f(x)):

xxf(x)f(x)
−2-288
−1-133
0000
11−1-1
2200

Entonces f(−2)=8f(-2) = 8 y f(1)=−1f(1) = -1. Si el valor no está en la tabla, no se puede leer con exactitud desde ahí.

En un gráfico se hace lo mismo: se busca x en el eje horizontal y se lee la altura. El punto (a, b)(a,\ b) en la curva significa f(a)=bf(a) = b.

f(x)=0f(x) = 0
cuando la gráfica
corta el eje x.

Aquí ocurre en x=0x = 0 y en x=2x = 2: esos son los ceros de la función.

Evaluar en una expresión

La entrada no tiene que ser un número. Se sustituye lo que esté entre paréntesis, en cada lugar donde aparezca x.

Con f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x:

f(a)=a2−2af(a) = a^2 - 2a
f(2t)=(2t)2−2(2t)=4t2−4tf(2t) = (2t)^2 - 2(2t) = 4t^2 - 4t
f(x+h)=(x+h)2−2(x+h)=x2+2xh+h2−2x−2hf(x + h) = (x + h)^2 - 2(x + h) = x^2 + 2xh + h^2 - 2x - 2h

En f(x+h)f(x + h) se reemplaza cada x por x+hx + h, con paréntesis. No es lo mismo que sumar h al final:

f(x)+h=x2−2x+hf(x) + h = x^2 - 2x + h
f(x+h)=x2+2xh+h2−2x−2hf(x + h) = x^2 + 2xh + h^2 - 2x - 2h
f(1)+f(2)f(1) + f(2)
no es lo mismo que
f(1+2)f(1 + 2)

Lo primero suma dos salidas. Lo segundo evalúa en una sola entrada. Aquí f(1)=−1f(1) = -1 y f(2)=0f(2) = 0, así que f(1)+f(2)=−1f(1) + f(2) = -1. En cambio f(3)=9−6=3f(3) = 9 - 6 = 3.

Cuando no se puede, y el camino inverso

Si la entrada no está en el dominio, no hay salida. En k(x)=1x−1k(x) = \dfrac{1}{x - 1}:

k(3)=13−1=12k(3) = \dfrac{1}{3 - 1} = \dfrac{1}{2}
k(1) no estaˊ definidok(1) \text{ no está definido}
k(1)=10k(1) = \dfrac{1}{0}
no se evalúa, porque
no se divide entre cero.

El camino inverso pide la entrada. Si f(x)=3f(x) = 3 con f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x:

x2−2x=3x^2 - 2x = 3
x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0
(x−3)(x+1)=0(x - 3)(x + 1) = 0
x=3ox=−1x = 3 \quad \text{o} \quad x = -1

Se comprueba: f(3)=9−6=3f(3) = 9 - 6 = 3 y f(−1)=1+2=3f(-1) = 1 + 2 = 3. Dos entradas distintas pueden dar la misma salida. Eso no rompe la regla de una función: a cada entrada le sigue correspondiendo una sola salida.

Evaluar va de x a f(x)f(x). Resolver f(x)=kf(x) = k va al revés: busca las entradas.

Evaluar es sustituir y calcular. La siguiente lección combina dos funciones: la salida de una se convierte en la entrada de la otra.